烏拉姆（1909——），美國數學家。1945年，他同被譽為「計算機之父」的馮·諾依曼合作，首次引進隨機遍歷定理。1950年參加美國第一顆氫彈的計算工作。1967年任美國總統科學顧問委員會顧問，並當選為美國國家科學院和藝術研究院院士。他是美國導彈計劃的發起人之一。

究竟什麼是數學？許多人給它下了定義，但沒有人能真正成功，定義和它本身總是不盡相符。粗略地說，人們知道數學是用模型、關係和運算來處理數和圖型的，在形式上它包括公理、證明、引理、定理這些步驟，從阿基米德時代起就沒變過；還知道數學是用來構成一切理性思維的基礎的。 
有些人會說，是外部世界使我們的思維——即人腦的運轉——形成現在稱之為邏輯的東西；另一些人——哲學家和科學家都可能——說，邏輯思維（思維過程）？是頭腦的內部功能「獨立」於外界作用而進化發展的產物。顯然，數學是有二重性的。它似乎是這樣一種語言，既是描述外部世界用的，又或許更是分析我們自身的。人腦這個器官有百多億根神經，神經之間的連通物更多，在進化過程中，它肯定是由於許多外界事變的影響才從原始的神經系統變化發展而來的。 
數學是確實存在的，因為事實上存在著命題和定理。它們陳述起來是很簡單的，但證明就需要好幾頁紙來說明。沒有人知道為什麼應該是這樣。許多這樣的命題的簡明性既有美學上的價值又有哲學上的意義。 
在數學的整個發展過程中，它的美學意義具有壓倒一切的重要性。一個定理是否有用倒沒多大關係，重要的是它是否漂亮。不是數學家的人，即使是其他科學家，也很少能充分理解數學的美學價值，但一個數學家在這方面就決不會是外行。但是，也要從另一角度看到數學的可稱為非常乏味的一面，這包括必須精雕細鏤，每一步驟都要搞到嚴格可靠。數學上不是粗筆勾勒就能完事的，所有細節都得及時交代清楚。 
龐加勒說過：「數學是一種無法用以表達不精確或含糊思想的語言。」我記得他是許多年前在聖路易斯一次論述世界科學的講話中說的。他還描述了自己說英語而不說法語時的異樣感覺，以此為例來說明語言對思維的影響。 
我比較贊同他的說法。眾所周知法語有一種明晰性，而其他語言就沒有，我覺得在進行數學和科學寫作時這就會造成差別。思想會被不同的表達方式所駕馭。用法語時，概括性充斥了頭腦，促使我趨於扼要和簡明；用英語時感受到的是實用觀念；德語則容易讓人感到有些什麼深意而其實並不見得有那麼回事。 
波蘭語和俄語適合於一種思想的醞釀和發展，就像茶越來越濃那樣。斯拉夫語容易引起憂鬱、深情、豪放，更富於心理意味而不是哲學意味；但並不像德語那樣朦朧或耽於詞藻，詞和音節重重疊疊，有時並沒有多少關聯的意思也被串到了一起。拉丁語又另有一功，它整齊有序，總是很清晰，詞和詞的分隔很清楚，不像德語中的詞粘在一起，這二者的差別就好比煮得好的米飯和煮過頭的米飯。 
總的來說，我本人對各種語言的感覺如下：講德語時講的一切都顯得太過分，用英語則相反，感到沒能充分表達。只有說法語覺得恰到好處，還有波蘭語也是這樣，因為是我的母語，覺得很自然。 
一些法國數學家寫東西往往風格很流暢，不去過多地陳述那些具體的定理，這比起現在的研究論文和著作的那種每頁上滿是符號公式的文體要舒服得多。一看見行文很少而只有公式和符號，我就會厭煩。看著那麼些東西但不明白主要想說明什麼，真是太吃力了。我懷疑有多少數學家會真正去閱讀和喜歡這樣的東西。 
誠然，重要的然而不太順暢和不那麼漂亮的定理是有的，例如某些與偏微分方程有關的工作往往形式上文體上不大「優美」，但它可能很有「深度」，很可能包含著有待從物理上闡釋的重要結論。 
那麼在今天人們如何去作價值評判？ 
從某種意義上說分析自己工作的動因和原由也是數學家的職責，但連他們都往往對自己不負責任，覺得自己的主要任務就是證明定理，至於對這些定理的重要性在哪裡哪怕作一些簡要說明也認為是不必要的。這樣看來，要把美作為惟一的標準，不有點故弄玄虛嗎？ 
我相信未來幾十年中對於美的程度甚至在形式層次上都會有更多的理解。當然那時候評價標準可能又會有所變化，會有一種不可分析的高層次上的超級美。迄今為止，想要極為精確地刻劃出數學的美學標準而提出的定義都顯得太狹隘短淺。美的標準必須與關於外部世界的其他學說或人腦的發展過程聯繫起來考慮，除非是純粹惟美的、就音樂那樣的領域來說的非常主觀的東西。而且我相信就是音樂的本質也是可以分析的——當然僅僅是在某種程度上——至少從形式的標準來看，通過把類比的想法數學化就行。 
一些多年沒有解決的老問題正在處理。有些解決得很成功，另一些雖然解決了但可以說還留有非議。看來同樣重要同樣令人感興趣的問題中這兩種情況都有。但有一些甚至是著名的經典問題卻是用相當特殊的方法解決的，以致這方面沒有什麼再可提可說的了。另一些不那麼有名而得到直接解決的則引起了興趣，那些方面成了熱門，看來會開闢出新天地。 
在出版物上，今天的數學家們幾乎像被逼著似地要把他們獲得結果的路子隱藏起來。死於21歲的年輕法國天才埃瓦利斯特·伽羅華在那場致命的決鬥前，寫的最後一封信裡著重指出了實際的發現過程和最終見諸鉛字的證明是多麼不同。這是值得再三強調的很重要的一點。 
總的和一般地來說，工作著的數學家們對於獨特成就和新理論的價值方面的確都有上面所說的這種感覺。因此，即使還沒有下定義，對於什麼是數學給出的美感的確存在著某些客觀的確定的東西，有時候它也是和數學在本身和其他科學分支中的有效性有關的。為什麼數學對於描述物質世界那麼有用，至少對我來說還是個哲學上的謎。尤金·魏格納寫過一篇極富魅力的文章談論數學的這種「不可思議」的有效性，並以「數學的超乎理性的有效性」為題。 
當然，數學是把所有理性思維形式化的一種很簡明的方式。 
由於做習題就像所有別的遊戲一樣能鍛煉器官，所以數學在小學、中學和大學階段都有明顯的訓練大腦的作用。我說不出今天數學家的頭腦是否比希臘時代的更敏銳些，不過從長期的進化過程來看肯定是這樣的。我深信數學可能具有偉大的發生學作用，它可能是人腦臻於完善的很少方法之一。如果確是如此，那麼對人類來說，是作為一整個群體還是只有一些個人進入自身命運的一個新紀元就是最為重要的了。數學可能是一條在物質上——從解剖學的意義而言——開發腦中新的連通線路的途徑。它有使思維敏捷的作用，儘管它的文獻資料爆炸般地劇增有點讓人受不了。 
每個形式體系，每個規則系統裡都有某種戲法。猶太教法典甚至希伯萊神秘教義的有些東西看起來對智力沒有什麼益處，它們是符合某種語法規則的烹飪配方法的龐大集子，有的或許還有點想像力，有的就玄妙莫測，反正是相當隨心所欲的。但許多世紀以來，千萬個學者對這些著作進行了鑽研、記錄、分析和歸類，這些工作可能就鍛煉了人們的記憶力和推理能力。正像磨刀石可以磨刀一樣，大腦可以在思考對像之鈍物上磨礪得敏銳起來，各種方式的勤奮思索都有它的價值。 
數學上有許多命題，就像那個叫做「費馬大定理」的，似乎很特殊，與數論的主體無關。它們陳述起來很簡單，卻使得那些最了不起的天才想要證明它們的全部努力都付諸東流。這些命題激發了青年人才（包括我本人）去思考更為一般的問題。就費馬問題來說，由於它本身的專門和自成一脈，在數學發展最近三個世紀裡已經導致了數學思想上頗有生命力的新概念的創立。尤其是代數結構中的所謂理想理論。數學史上有一系列這樣的創造。 
可以創造一般的空間概念。它無疑是我們感覺到的物質空間的抽像，但既不完全受其規律支配，也非惟一地為其映像；它可以推廣到n大於三的n維甚至直到無限多維空間；它至少作為一種語言在描述物理自身的基礎上極為有效——這些都是人腦的能力所創造的奇跡嗎？還是物質現實的本性所展現的呢？無限有著不同的等級和種類這一點究竟是發明還是「發現」，這對於敏感善思的頭腦不僅有哲學上的影響而且不止於此，還有顯著的心理學影響。 
說到數學當然還有其他科學——特別是物理——的奇異的魅力和神秘的吸引力，不妨注意一下經常發生的一種現象，即下象棋的水平不高的棋手甚至普通新手走出了很有深度的妙局。我經常注意不熟練的或棋藝平常的初學者。在約莫15步以後看他們的盤面就常常會發現雙方都有許多妙著可走，這大概總是出於偶然而不是事先構想好的。我就奇怪，撇開那甚至尚未看出這些妙著的幼稚棋手不談，從這盤棋本身來說是怎麼一步步走到這樣極富藝術性和耐人尋味的局面的。我不知道「走」的遊戲裡是否也會有類似的情況。雖然由於對這種絕妙的遊戲的門道我本人知之不多而無法判斷，但我很想知道，一個內行面對遊戲的一個局面是否就說得出這是偶然造成的還是那巧妙遊戲的正常的合乎邏輯的發展。 
在科學上，特別是數學上，某些算法似乎有類似的奇妙而有趣的現象。它們自身似乎有逐步展開的能力，就像求解問題的過程和觀點的逐步發展形成，開始看來只是為特定目的而設計的工具會有一些預想不到、出乎意外的新用途。 
順便說起，我想起一個我不知道如何解答的小小哲學難題：假定有一種單人或兩人玩的紙牌遊戲過程中，玩牌者可以作弊一到二次。例如在坎菲爾德紙牌遊戲裡，如果有一次而且僅有一次，將牌面改換一二張牌，遊戲或者說對策並沒有被破壞。它還是一場數學意義上嚴格、完整的紙牌對策，不過是另一種紙牌對策而已，只是內容變得更豐富一點、更一般化。但要是取一個數學系統，一個公理系統並允許加入一二條錯誤的命題，結果馬上就會是胡說八道，因為只要有一條假命題，就會要什麼結果就推得出什麼結果。這兩者的區別在哪裡？也許在於事實上只有遊戲可以允許某一類的舉動，而數學上一旦引入一條錯誤命題就會馬上得出「零等於一」這樣的命題。因此必定有方法可以把數學對策加以推廣，使得可以犯一些錯誤但不會得出絕對的胡說，而只是得到一個更廣的系統。 
霍金斯和我考慮過如下的有關問題，這是由「20個問題」變化來的一個對策：一個人想好一個1和1 00（這個數正好是小於22的）之間的數，另一個人可以問最多20個問題，對每個問題第一個人只回答是或不是。很明顯可以這樣來猜到那個想好的數，即先問：這個數是在1 00的前一半里嗎？然後下個問題再用「一半」來縮小數的範圍，這樣問下去，最後在1092（1 00）次之內就能猜到這個數。現在假定答者可以說一到二次謊，這樣要問幾次才能得到正確答案？顯然需要問n次以上才能在2n個數里猜中一個，因為不知道什麼時候說謊。這個問題沒有得到一般的解決。 
數學觀念和靈感有二個主要的來源——一方面，由外部現實即物質世界的影響而引起；另一方面，由人的生理或許基本上是腦的生理發展過程而引起。從一個不太明顯和比較特殊的意義上說，這一點在今天和不久以後的計算機運用上已經和將會繼續得到反映，有一個同態象。 
即使最唯心的認為數學純粹是人心的創造的觀點也須得符合這樣的事實：即幾何定義和公理——實際上大多數數學概念都是如此——的選擇是由外界刺激和對在「外部世界」裡進行的觀察實驗的內省，通過我們的意識獲得的印象的結果。例如，概率論就是由有關機會的遊戲中的一些問題發展而來的。今天，有許多計算機是專為解決特定數學問題而設計的，靠它們就有希望大為廣泛地進行思想實驗，將經驗理想化，並概括出更為抽像的思維模式。 
幾年前在普林斯頓，慶祝馮·諾伊曼計算機建成25週年大會上，我在講話時忽然心血來潮，默默地估算起每年數學雜誌上有多少定理發表（指那些標明為「定理」的、發表在公認的數學雜誌上的命題）。我很快地心算著，連自己也奇怪竟能在談著完全不相干的事的同時，算出每年約有十萬個定理。我馬上轉過話題，把這說了出來，聽眾不禁倒吸了一口冷氣。讀者可能會感興趣的是，聽眾中有兩個青年數學家第二天跑來跟我說，由於被這極大的數字所震動，他們在院圖書館作了一次系統詳細的調查，將雜誌種數乘以一年的期數，再乘上每期的頁數和平均每頁上的定理數，估計下來一年有近二十萬條定理。這樣一個巨大的數字無疑值得好好思考。人們如果承認數學的意義應該比遊戲和智力測驗大些，那麼這就是一件令人擔憂的事情了。危險顯然在於數學本身將遭到割裂，分成互不相關的不同科學或許多聯繫鬆散的獨立學科。我本人希望不要發生這種情況，因為如果定理多到讓人無法概觀，那麼誰能來判斷什麼是「重要」的呢？這也是個保存資料、存儲和檢索科學成果的問題。而這現在成了個首要問題，沒有人機對話，就無法找出最需要的東西。 
要始終跟得上當代的成果，即使僅僅是那些突出的引人注意的成果，實際上也是不可能的。那種認為數學將作為一門統一的科學存在下去的觀點與此怎麼一致得起來呢？正像一個人不可能見過所有的美女或所有優美的藝術作品而最後只娶了一個美人一樣，可以說在數學上一個人是和他自己的小領域結婚的。正因為這樣，數學研究的價值評判越來越困難，我們大多數人基本上成了技術師。年輕科學家所研究的數學客體的種類正指數倍地增長，也許，人們不應該把這種現象稱之為對思維的褻瀆，不過它到有點像大自然造就了無數種不同的昆蟲那樣，使得世界豐富多彩。但是，多少總讓人感到，這同我們對於科學的本質觀念，即要去理解、縮寫、概括、尤其是發展關於理智和自然現象的記號系統這一點有點背道而馳。 
在科學發展上，只有那些出乎意料的東西、真正的新思想新概念對於年輕心靈的震動，才會不可逆轉地鑄就一個人才。直到成年或老年，甚至已不大敏感或精疲力竭時，那意外的東西造成的好奇還會引起新的興奮。用愛因斯坦的話說：「我們能體驗到的最美的東西就是那神妙莫測的，這是所有真正的藝術和科學的源泉。」 
數學產生出概念，它們將自己獨立地生存發展。數學就這樣創造了新思維對像——可以叫做超現實。它們一旦誕生，就不再是哪個個人所能控制的，只有一類頭腦，既永恆交替的數學家群體才能駕馭它們。 
數學上的天才和智者很難定量地確定。我似乎覺得從碌碌之輩直到高斯、彭加勒和希爾伯特那樣最高層次的人的過渡是幾乎連續的。很大程度上不僅僅取決於腦。肯定有我所稱的「內分泌因素」（由於找不到更合適的詞）或品格特徵：堅韌性、體魄，工作的意願，有些人叫做「激情」的東西。這些在很大程度上取決於多半是兒童或少年時代造成的習慣，這裡早期的偶然影響起很大作用。毫無疑問，那稱為想像力和直覺的特質基本上由腦的生理結構特性決定，但通過經驗導致一定的思考習慣和思考過程的方向後，腦的生理結構也是可以得到部分改善的。 
是否願意投身於未知和不熟悉的問題是因人而異的。數學家有截然不同的類型——一類喜歡進擊現有的問題或者在現成的基礎上進行再建，另一類喜歡摸索新模式新路子。第一種人可能佔大多數，約在80％以上。年輕人想要成名就往往去攻一個前人已搞過但未解決的問題，這樣，要是他運氣好並且能力也行，那就會像個運動員那樣打破紀錄，跳得比哪個前人都高。雖然通常有較大價值的是形成新的概念，但年輕人即使懂得其重要性和美學價值也往往不願作此努力，因為不知道這新思想會不會被賞識。 
我是那種不願作改進和雕鑿而喜歡開創新東西的。開創的基始越簡單越「低」我越喜歡。我不記得用過什麼複雜的定理去證明更複雜的定理（當然，這都是相對而言的，「太陽底下沒有新東西」——一切都可以溯源至阿基米德甚至更早）。 
我還相信一生中改換工作領域能夠恢復活力。在一個小領域或狹範圍的問題上搞得太久就會故步自封，阻礙獲得新觀點，使人變得迂腐。不幸的是，這種不利於數學創造性的情況並不少。 
除了其壯觀的前景、美學價值和對新現實的想像力以外，數學還有一種不太明顯或者說不太有益的特性即能使人上癮。這或許類似一些化學麻醉品的作用。哪怕最小的遊戲題，一下子就看得出是膚淺或老一套的，也會有這種誘惑力，只要開始去解它就會被吸引住。我記得《數學月刊》有一次偶然刊登了一位法國幾何學家送去的，關於在平面上排列圓、直線和三角形的極平常的問題，正像德國人所說的是「次要的」。不過一旦開始去想怎麼解法，這些圖形就可能吸引住你，即使你始終明白答案是不會導致什麼令人激動或較有普遍性的問題的。這很可以同我提到過的費馬定理的情況對照一下，費馬定理是導致創造了大批代數新概念的。二者的區別或許在於一般問題經過一定程度的努力後總是能解決的，而費馬問題卻仍未解決，一直保持著誘惑力。不過這兩種類型的數學好奇心都能讓數學愛好者上癮，因為想當數學家的人有分別感興趣於普通枝節和最有感染的問題的。 
在科學家工作習慣的其他方面，變化是比較慢的。今天科學象牙塔裡的生活方式的特點是科學會議更多，參與政府工作更多。 
不過像寫信這樣既簡單又要緊的事情上也有很大變化。這在過去往往是一種藝術，不僅僅屬於文學界的藝術。數學家寫起信來是很長的，他們用普通手寫體詳細地交流數學思想，也談私人瑣事。而今由於秘書代勞的便利，反倒使那種私人間的交流成了難事，並且由於專業細節難於口授，一般說來科學家尤其是數學家之間通信少了。我保存著所有相識的科學家來過的信，前後時間跨度40多年，從這些信裡可以看出一個逐漸發生，並在戰後加速了的變化過程，即從長的、私人交往式的、手寫的信件日益變為公務式的、枯燥乏味的、打字的條子了。在我近年的通信往來中，只有兩個人寫信還是用普通手寫體：喬治·加莫夫和保羅·厄多斯。 
諾貝爾獎獲得者物理學家楊振寧講過一個故事，說明了現在數學家和物理學家在認知方面的關係： 
一群人一天晚上來到某城，因為有衣服要洗，就上街去找洗衣店，找到一個櫥窗裡有「此處接收需洗衣物」招牌的地方，其中一個人就問：「把我們的衣服給你們行嗎？」店主說：「不，我們這裡不洗衣服。」客人說：「怎麼，你櫥窗裡的招牌上不是寫著嗎？」回答是：「這裡是造招牌的。」這就有點像數學家的情形，數學家是製作招牌或者說記號的，並且希望自己製作的記號能適合一切可能發生的情況。不過，物理學家也創立過許多數學思想。 
在社會科學方面，據我這樣一個外行看來，目前還沒有什麼稱得上理論或深刻的學識的東西，這也許是因為我無知。不過我總有這樣的一種感覺，即只要注意表面，或者看看比方說《紐約時報》，就能在經濟學上像大專家一樣有眼光有學問了。因為我認為除了一些人人都能懂的常識，目前那些專家沒半點辦法能創造出較大的經濟或社會——政治奇跡。 
如果有朝一日發現宇宙中——可能在遠離太陽系千萬光年以外——存在其他智能生物，那這一進展的影響將是我們所無法估量的，我認為它將比任何現在的宗教信仰都要大得多。完全有可能突然發現並破譯了很久以前發出的電磁波。如有跡象或證據表明確有不可能與之進行雙向通訊的那種東西存在，那對人類將有極大的影響。這可能很快就會發生，它或者會引起極大恐慌，或者相反，造成新的信仰。 
我們都讀到過關於飛碟和其他不明飛行物的情況。在愛德華·U·康登指導下對這個問題作了徹底的研究。很容易證明了大多數情況要麼是視覺上的幻象，要麼是正常的大氣現象。但還有一些是確有根據的令人大惑不解的UFO現象。例如威爾遜山的天文學家曾在散步時看見一個很奇怪的流星狀物，待回到天文臺時又發現放射量達到峰值。也有一些飛行物，由飛機上的儀器和雷達同時示蹤，也沒有得到解釋。 
費米曾經問道：「眾生何在？其他生命的蹤跡何在？」 
就我所見，未來10到15年內將比任何別的因素更能改變世界的生活方式的是新的生物學。有些初看起來相當普通的發現已經對世界的組成發生了甚至比世界大戰更大的影響了：比如新的藥品，像青黴素和避孕藥就從兩個相反的方面改變了人口平衡。 
我最近在一星期之內就聽說了兩項癌症研究上的重要成果，這足以說明生物科學進展速度之快。一項是密執安的一位科學家在人乳腺癌細胞裡發現了一種病毒。另一項是在波爾德實際完成的實驗，那裡有一台極好的電子顯微鏡，用它搞成了一種驚人的新技術。基思·彼特和他的同事們培養出了能取出細胞核的細胞，這些細胞核並未損傷，可以移植到其他已去核的細胞裡，所以這實際上是細胞間核的交換。例如可以把一個癌細胞的核取出並放入正常細胞裡，於是這新的細胞會變得正常起來。這是非常了不起的成就，它說明有些指令可能不是像通常所認為的來自細胞核，而是來自細胞質。 
將來，影響地球上人類生活面貌和生活方式的，主要是食物生產和更換的新途徑，它將比任何現在詞義上的政治——社會——經濟進展的影響都大得多。所有這些可能都是很顯然的，但有時候很明顯的事情，在實現以前還是有必要再三強調。世界將大為改觀。 
加莫夫的興趣，馮·諾伊曼的遠見，巴拿赫和費米的工作，與其他人的才華一起，都為擴展今日科學範圍、大大拓寬物理和數學的前景作出了貢獻。各門科學這樣偶然和僥倖的融合產生了那麼多新面貌新成就，這真是奇跡啊！ 
（朱水林　譯）