費式數列(Fibonacci Sequence)與大自然的奧秘

此文章讓我們了解費式數列與黃金比例(golden ratio)彰顯自然界中，數學、藝術與人們創作的領域關係。

2020年2月12日

大部分的人聽過黃金法則是古希臘文化的黃金時代、黃金時期的古典音樂和黃金女郎；但你知道什麼是黃金比例(亦稱黃金分割)嗎？

黃金比例亦可稱為費氏數列，是由一連串數字組成的比例，其中每個數字等於前面兩個數字的和；此數理運算以義大利數理學家Leonardo Pisano的暱稱Fibonacci命名，該順序是0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55以此類推。若將任一費氏數值除以原本的前一個數字則會得到1.618的黃金比例(即黃金分割)且由希臘字母phi表示。

若以黃金比例作為基礎，我們可設定一個邊長符合黃金比例的黃金矩形並在連接黃金矩形的相對角上畫一個圓弧，即可繪製出一個黃金螺線。

這看起來是一種趣味數學，但在現實世界中意味著什麼呢?
黃金比例不僅呈現在各種自然現象中，也會融入人類的各種創作，例如建築和藝術品。

很多黃金比例的實例都在自然界出現，像是在葵花頂端的種子排列出來的螺旋圖案、圓錐松果外擴的果片，萌髮捲曲的蕨類嫩芽和鸚鵡螺腔室都能看到。同樣的情況用在人體身上也有許多黃金比例的關聯性元素，包括手指關節、前臂與手掌間的距離、五官呈現的比例、耳朵輪廓和DNA螺旋體結構。

費氏數列和黃金分割數列用各種形式出現在世界的每個角落，這樣的黃金比例運算從人類身上的DNA到宇宙銀河系幾乎息息相關且無處不在。

黃金比例亦出現在一些無生命的自然現象中，如天象觀測的各種颶風漩渦和宇宙銀河系漩渦臂都只是其中的兩個實例。

藝術家在創作各種繪畫和插圖作品也採用黃金比例呈現，像是達文西(Leonardo da Vinci)的《最後的晚餐Last Supper》、瑪麗(Mary Cassat)《划船The Boating Party》和 喬治(Georges Seurat)《阿尼埃爾的浴場Bathers at Asnieres》。而黃金比例亦同樣運用在建築工藝上，例如Giza金字塔、Parthenon神廟、泰姬瑪哈陵(Taj Mahal)和古根漢美術館(Guggenheim Museum)；這些結構堆砌出來的建築美學會令人嘆為觀止的主因就是每一區塊都吻合黃金比例。

當然費氏數列和黃金比例也能在音樂世界裡找到，從音階到和弦的基礎再到由頻率比產生的和聲。

最後較有趣的是我們打造出來的產物—股票市場—也表現出令人驚訝的黃金比例特性；投資者可用費氏數列回調線、弧線和扇形等圖表技術來預測每支股票或整個市場的價格走勢。

費氏數列和黃金分割數列用各種形式出現在世界的每個角落，這樣的黃金比例運算從人類身上的DNA到宇宙銀河系幾乎息息相關且無處不在。

更多有關費氏數列和其他著名數理運算，可從EBSCO Academic Search Ultimate 和 Applied Science & Technology Source Ultimate 學術資料庫裡找到您想知道的答案。(https://about.ebsco.com)(圖片来源：Stan Wu 吳信典筆記本)

崇高（英語：sublime；拉丁語：sublīmis；德語：erhabene）又被稱為壯學。不管在美學上，還是哲學上都有各自卻相似的定義。最早提到崇高的是公元1世紀古羅馬時代朗吉諾斯的《論崇高》（Peri Ypsous），是羅馬帝國時期傳下的一部古希臘文文藝理論著作。就審美經驗而言，它表達的是一種使主體（主觀意識者）受到震撼，帶有莊嚴感或敬畏感。

維維亞諾·庫達茲（Viviano Codazzi）所作羅馬聖彼得廣場，1630年。康德將聖彼得廣場稱譽為「壯美」，而他用這個詞來專門形容物體產生美麗和崇高的感覺。（原載：维基百科）

颤栗詩性

班雅明《偉大的講故事者總是扎根於民眾》

班雅明《獲一種閃現的記憶》

班雅明靈光

[愛墾整理] 漢語圈/外语圈：認同、再現與對抗

史書美曾提出一個看法：「認同就是再現的問題，以及人們透過再現形成身分的認同」，89 楊振寧、黃克孫或陳省身等近現代華人學者都已經歸化為美國公民，但他們仍藉由古典詩來傳達情感與思想，這不僅是因為這個形式便捷或容易，90 而是創作者認同這個形式本身所蘊含的獨特意味或無可取代的美感，91 同時也可以透過作品，與其他同樣優游於此形式的作者，形成更緊密的心靈關係。對這些海外華人而言，古典詩創作是文化根源的象徵。王德威認為：

回看華語語系文學，我們必須指出相當不同的面向。十九世紀以來中國外患頻仍，並無力主導國家型殖民行動。恰恰相反，香港、台灣、滿洲國、上海等被殖民或半殖民地區裡，華語、中文仍是日常生活的大宗，文學創作即使受到壓抑扭曲，也依然不絕如縷。這讓我們反思華族文明傳統根深柢固的潛力。更重要的，由於政治或經濟因素使然，百年來大批華人移民海外，尤其是東南亞。他們也許遂行了「移民者的殖民」行徑（settler colonialism），卻也同時受到在地（其他殖民者或土著）勢力的威脅。他們建立各種社群，形成自覺和自決的語言文化氛圍。漢語官話或方言，漢文書寫成為族裔身分、文化傳承―而未必是政權認同―的標記。最明白的例子是馬華文學。華人在馬來西亞飽受壓抑，但藉華語、華文，他們致力保存族群以及文化特性，作為政治抗衡的形式。92

「華族文明傳統根深柢固的潛力」、「致力保存族群以及文化特性，作為政治抗衡的形式」，可能是十九世紀以來「華文」所展現的民族意識與文化韌性。然而海外古典詩的創作，尤其是在北美洲，雖然也存在著類似的氣息，但是某種程度上又迥異於東南亞之Sinophone/Xenophone（愛墾註：漢語/外来語）白話作品中的抗衡意識；華語古典詩似乎帶有更溫和的個人色彩，且主要流行於學院當中，它們並不產生於抵抗，而僅是作為懷念或期許；並非有意地揭示自我與當地的政治、歷史、文化等層面之衝突，而是無意間流露自我生命的感慨和沉思。然而這種性格，卻也從另一個側面補充了Sinophone（愛墾註：漢語圈）系統中白話文學創作以外的另一種生命處境及文化態度。93

89 史書美（Shu-mei Shih）著，楊華慶譯，《視覺與認同》（臺北：聯經文化事業出版有限公司，2013），頁34-35。

90 例如郁達夫嘗謂：「像我這樣懶惰無聊，又常想發牢騷的無能力者，性情最適宜的，還是舊詩；你弄到了五個字，或者七個字，就可以把牢騷發盡，多麼簡便啊！」郁達夫原著，常君實主編，《郁達夫自選文集‧骸骨迷戀者的獨語》（西寧：青海人民出版社，1999），頁106。

91 高友工在〈律詩美學〉一文中提出律詩中有「潛在的美學」，他認為這種美學：「在大多數的情況下，它一直是朦朧不明，而且難以捉摸的；從事創作的詩人甚至不可能覺察到它的存在，更不要說明確認識到所做選擇的複雜性了。它是『美學』，因為正是這種選擇的整體構成了詩的美感和價值。為了方便起見，可以將這些選擇看作完全有意識的：它們顯示出詩人在形式方面的構想，他對結構方式的理解，他如何運用規則以適應其創造性的想像，以及如何努力通過這一特定形式而達到他的意境……藉憑這種法則，詩人與讀者能夠獲得溝通，而將外行人排除在外。」見氏著，《中國美典與文學研究論集》（臺北：臺大出版社，2004），頁210。高友工在文中指出的是律詩的音節和句、聯結構關係，但古典詩除了這種形式整齊而透過對偶形成的張力，亦蘊含了文化的想像和民族的情感等形式以外美學價值。

92 王德威、高嘉謙、胡金倫編，《華夷風》（臺北：聯經文化事業出版有限公司，2021），頁4。

93 黃克孫的白話詩，正好也展現了類似的風情，對於新大陸，他在詩中有更多美好嚮往的描述，如〈紐英倫〉一詩：「當寶玉／脫離了賈政和／寶釵的世界而／來到紐英倫／他終於放棄／出家的念頭／他意識到／生命／自由／幸福的追求。」黃克孫，《夢雨錄》，頁43-44。「紐英倫」是指美國New England。

(摘自：徐國能〈近現代海外華語古典詩的傳承與創造 ―以黃克孫為例〉；見《東華漢學》第41期；195-238頁；東華大學中國語文學系 華文文學系；2025 年6月 )